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フーリエ変換とウェーブレット変換

フーリエ変換
フーリエ変換は時間的に変化する信号を周波数領域の表現に変換する.
フーリエ級数展開は周期性が必須だが,フーリエ変換では必須ではない
・無限の周期を仮定する.
・(↑が理由?)定常性を持った信号への適用には適するが,非定常な信号への適用には向かない
・そもそも,時間軸の情報が完全に失われてしまうのは使いにくい
・そこで生まれたのが?窓枠付きフーリエ変換.短時間の窓枠でフーリエ変換を繰り返し適用.
・窓付きフーリエ変換は逆変換が存在しない

→周波数情報だけじゃなく,その周波数の時間的変化も捉えたい
 一番はじめは,石油探査のための地震波解析のニーズから生まれたみたい.つまり,その地層
 に何があるのか?を周波数で特定できても,それがどの深さか分からないとどこ掘っていいか
 分からない.その周波数が時間的にどのくらい離れた地層なのか知りたい・・・

ウェーブレット変換
・そこで生まれたのがウェーブレット変換.
・動機から明らかなように,ウェーブレット変換では周波数とその時間的変化の2軸で一つの
 信号を分解する.
・具体的には,元の信号を局在波と呼ばれるパルス状の波の相似波の線形結合で表現する.
・局在波は平行移動(シフト)で時間情報を表現し,かつ,並みの伸び縮み(スケール)で
 周波数情報を表す.
・具体的な展開方法も直感的で,各局在波と元信号の内積積分する,つまり元の信号と
 各局在波の類似度を見ているようなものなんだと思う.
・局在波の線形結合であることからもわかるように,非定常的な信号にも適用が有効.
・窓付きフーリエ変換はその窓の大きさをどうするか?が悩みどころだけど,ウェーブレット変換
 では,高い周波数は短い時間窓で(短い局在波で),低い周波数領域は長い時間窓で
(長い局在波)で分離するという直感的にも素直な分解になっている.
  


画像処理への応用
・画像は情報が多すぎる.縦x横のそれぞれを時系列と見て,2次元のフーリエ変換,ウェーブ
 レット変換を適用する.